設A(－2，0)，B(2，0)，M為平面上任一點，若|MA|＋|MB|為定值，且cosAMB的最小值為.

    (1)求M點軌跡C的方程；

    (2)過點N(3，0)的直線l與軌跡C及單位圓x2+y2=1自右向左依次交于點P、Q、R、S，若|PQ|＝|RS|，則這樣的直線l共有幾條？請證明你的結論.

 

答案：
解析：

答案：解：(1)設M(x，y)，∵在△AMB中，AB＝4，|MA|＋|MB|是定值.

    可設|MA|＋|MB|＝2a(a＞0).

∴

    =

    =.

    而，

    ∴|MA|·|MB|≤a2.

    ∴.

    ∵cosAMB最小值為，

    ∴.

    ∴.

    ∴.

    ∴M點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，且，c=2.

    ∴b2=a2－c2=2.

    ∴曲線C的方程是.

    (2)設直線l的方程是y＝k(x－3).

    1°當k＝0時，顯然有|PQ|＝|RS|；此時l的方程是y＝0.

    2°當k≠0時，∵|PQ|＝|RS|，

    ∴PS與RQ的中點重合，設中點為G，則OG⊥PS.

    由，得(1+3k2)x2－18k2x+27k2－6=0.

    設P(x1，y1)，S(x2，y2)，

    則，.

    ∴G(，).

    ∴無解，此時l不存在，

    綜上，存在一條直線l：y＝0滿足條件.

 


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