Question

    設(shè)A(－2，0)，B(2，0)，M為平面上任一點(diǎn)，若|MA|＋|MB|為定值，且cosAMB的最小值為.

    (1)求M點(diǎn)軌跡C的方程；

    (2)過(guò)點(diǎn)N(3，0)的直線l與軌跡C及單位圓x²+y²=1自右向左依次交于點(diǎn)P、Q、R、S，若|PQ|＝|RS|，則這樣的直線l共有幾條？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)設(shè)M(x，y)，∵在△AMB中，AB＝4，|MA|＋|MB|是定值.     可設(shè)|MA|＋|MB|＝2a(a＞0). ∴     =     =.     而，     ∴|MA|·|MB|≤a2.     ∴.     ∵cosAMB最小值為，     ∴.     ∴.     ∴.     ∴M點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且，c=2.     ∴b2=a2－c2=2.     ∴曲線C的方程是.     (2)設(shè)直線l的方程是y＝k(x－3).     1°當(dāng)k＝0時(shí)，顯然有|PQ|＝|RS|；此時(shí)l的方程是y＝0.     2°當(dāng)k≠0時(shí)，∵|PQ|＝|RS|，     ∴PS與RQ的中點(diǎn)重合，設(shè)中點(diǎn)為G，則OG⊥PS.     由，得(1+3k2)x2－18k2x+27k2－6=0.     設(shè)P(x1，y1)，S(x2，y2)，     則，.     ∴G(，).     ∴無(wú)解，此時(shí)l不存在，     綜上，存在一條直線l：y＝0滿(mǎn)足條件.