Question

已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點(diǎn).

（1）若、R且，證明：函數(shù)必有局部對稱點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在R上有局部對稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析;（2） ;（3）

【解析】

試題分析：（1）由和得到關(guān)于的方程（），其中，由于且，所以恒成立，所以函數(shù)（）必有局部對稱點(diǎn)；（2）方程在區(qū)間上有解，于是 ，利用換元法，即可求出結(jié)果；（3）由于， 所以（*）在上有解，令（），則，所以方程（*）變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061906022037935982/SYS201506190602289890672040_DA/SYS201506190602289890672040_DA.021.png">在區(qū)間內(nèi)有解，需滿足條件：

，解不等式，即可求出m的取值范圍.

試題解析：【解析】
:（1）由得1分

代入得，，

得到關(guān)于的方程（），2分

其中，由于且，所以恒成立3分

所以函數(shù)（）必有局部對稱點(diǎn)。4分

（2）方程在區(qū)間上有解，于是5分

設(shè)（），，6分

7分 其中9分

所以10分

（3），11分

由于，所以13分

于是（*）在上有解14分

令（），則，15分

所以方程（*）變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061906022037935982/SYS201506190602289890672040_DA/SYS201506190602289890672040_DA.021.png">在區(qū)間內(nèi)有解，需滿足條件：

16分

即，化簡得18分.

考點(diǎn)：1.新定義；2.換元法求函數(shù)的最值；3.恒成立問題.