【題目】已知函數(shù) 曲線在原點(diǎn)處的切線為 .
(1)證明:曲線與軸正半軸有交點(diǎn);
(2)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為,曲線在點(diǎn)處的切線為直線,求證:曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方 ;
(3)若關(guān)于的方程(為正實(shí)數(shù))有不等實(shí)根求證:
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析
【解析】分析:(1)由條件可得,然后利用單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理可得存在 使得,從而得結(jié)論成立.(2)由(1)可得曲線在點(diǎn)處的切線:. 令,,則,由的單調(diào)性可得,從而可得結(jié)論成立.(3)結(jié)合以上兩問中的有關(guān)結(jié)論構(gòu)造新的函數(shù)進(jìn)行證明可得結(jié)論成立.
詳解:證明:(1)∵,
∴,
由已知得 ,解得
∴,
∴在 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
又,,
∴存在 使得 .
∴曲線與軸正半軸有交點(diǎn) .
(2)由(1)可得曲線在點(diǎn)處的切線: ,
令, ,
則,
又,
故當(dāng) 時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng) 時(shí),,單調(diào)遞減,
所以對(duì)任意實(shí)數(shù)都有 ,
即對(duì)任意實(shí)數(shù)都有 ,
故曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方.
(3)由(1)知,
所以為減函數(shù).
設(shè)方程 的根為,
由(2)可知,
所以.
記,則
當(dāng) 時(shí), 單調(diào)遞增,
當(dāng) 時(shí),,單調(diào)遞減,
所以對(duì)任意的實(shí)數(shù),都有 ,
即.
設(shè)方程的根 ,
則 ,
所以.
于是
令,
又,則,
所以 在上為增函數(shù),
又
所以 ,
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)常數(shù).
證明在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);
當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
對(duì)于中的函數(shù)和函數(shù),若對(duì)任意,總存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某算法的算法框圖如圖所示,若將輸出的(x,y)值依次記為(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xn , yn),…,則程序結(jié)束時(shí),共輸出(x,y)的組數(shù)為( )
A.1006
B.1007
C.1008
D.1009
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C的圓心在直線上,且與直線相切于點(diǎn)
(1)求圓C的方程;
(2)是否存在過點(diǎn)的直線與圓C交于兩點(diǎn),且的面積為(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)與溫度有關(guān), 現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表:
溫度/℃ | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產(chǎn)卵數(shù)/個(gè) | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
(1)若用線性回歸模型,求關(guān)于的回歸方程=x+(精確到0.1);
(2)若用非線性回歸模型求關(guān)的回歸方程為 且相關(guān)指數(shù)
( i )試與 (1)中的線性回歸模型相比,用 說明哪種模型的擬合效果更好.
( ii )用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為時(shí)該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).
附:一組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn), 其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為,,相關(guān)指數(shù).
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合題。
(1)設(shè)不等式(x﹣a)(x+a﹣2)<0的解集為N, ,若x∈N是x∈M的必要條件,求a的取值范圍.
(2)已知命題:“x∈{x|﹣1<x<1},使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù);
(2)探究是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)為奇函數(shù)?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,解不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0時(shí),有 .
(1)解不等式 ;
(2)若f(x)≤t2﹣2at+1對(duì)所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, .
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值;
(2)對(duì)任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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