已知函數(shù)f(x)=2x的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關于直線y=x對稱,令h(x)=g(1-|x|)則關于函數(shù)h(x)有下列命題:
①h(x)為圖象關于y軸對稱;
②h(x)是奇函數(shù);
③h(x)的最小值為0;
④h(x)在(0,1)上為減函數(shù).
其中正確命題的序號為________(注:將所有正確命題的序號都填上).
①④
分析:先根據(jù)函數(shù)f(x)=2x的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關于直線y=x對稱,求出函數(shù)g(x)的解析式,然后根據(jù)奇偶性的定義進行判定,根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性進行判定可求出函數(shù)的最值,從而得到正確選項.
解答:∵函數(shù)f(x)=2x的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關于直線y=x對稱,
∴g(x)=log2x
∴h(x)=g(1-|x|)=log2(1-|x|),x∈(-1,1)
而h(-x)=log2(1-|-x|)=h(x)
則h(x)不是奇函數(shù)是偶函數(shù),故①正確,②不正確
該函數(shù)在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減
∴h(x)有最大值為0,無最小值
故選項③不正確,④正確
故答案為:①④
點評:本題主要考查了反函數(shù),以及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和最值,同時考查了奇偶函數(shù)圖象的對稱性,屬于中檔題.