Question

【題目】已知函數(shù)（k為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)。

（1）求k的值；

（2）討論關(guān)于x的方程如的根的個(gè)數(shù)。

Answer 1

【答案】（1）k=0，（2）見解析

【解析】

（1）因?yàn)槎�義域是實(shí)數(shù)集R，直接利用奇函數(shù)定義域內(nèi)有0，則f（﹣0）＝﹣f（0）即f（0）＝0，即可求k的值；

（2）先把方程轉(zhuǎn)化為x2﹣2ex+m，令F（x）（x＞0），G（x）＝x2﹣2ex+m （x＞0），再利用導(dǎo)函數(shù)分別求出兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到兩個(gè)函數(shù)的最值，比較其最值即可得出結(jié)論．

（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝（k為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，

所以f（﹣0）＝﹣f（0）即f（0）＝0，

則ln（e0+k）＝0解得k＝0，

顯然k＝0時(shí)，f（x）＝x是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)；

（2）由（1）得f（x）＝x

∴方程轉(zhuǎn)化為x2﹣2ex+m，令F（x）（x＞0），G（x）＝x2﹣2ex+m （x＞0），

∵F'（x），令F'（x）＝0，即0，得x＝e

當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上為增函數(shù)；

當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)；

當(dāng)x＝e時(shí)，F（x）max＝F（e）

而G（x）＝（x﹣e）2+m﹣e2 （x＞0）

∴G（x）在（0，e）上為減函數(shù)，在（e，+∞）上為增函數(shù)；

當(dāng)x＝e時(shí)，G（x）min＝m﹣e2

∴當(dāng)m，即m時(shí)，方程無解；

當(dāng)m，即m時(shí)，方程有一個(gè)根；

當(dāng)m，即m時(shí)，方程有兩個(gè)根；