Question

已知f（x）=

ax3

3

-（a+1）x²+4x+1（a∈R）
（1）當a=-1時，求函數的單調區(qū)間；
（2）當a∈R時，討論函數的單調增區(qū)間；
（3）是否存在負實數a，使x∈[-1，0]，函數有最小值-3？

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：計算題,分類討論,導數的綜合應用

分析：（1）寫出a=-1的函數解析式，再求導，分別令大于0，小于0，得到單調區(qū)間；
（2）求出導數，分解因式，對a討論，分a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1五種情況，求出單調增區(qū)間；
（3）假設存在負實數a，使x∈[-1，0]，函數有最小值-3．再由a≥-2，a≤-2，討論單調區(qū)間，得到最小值，再解出a，檢驗，即可得到答案．

解答： 解：（1）當a=-1時，f（x）=-

1

3

x³+4x+1，f′（x）=-x²+4，
由f′（x）＜0，解得x＞2或x＜-2；
由f′（x）＞0，解得-2＜x＜2，
故函數的單調減區(qū)間為：（-∞，-2），（2，+∞），單調增區(qū)間為：（-2，2）；
（2）f′（x）=ax²-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2），
①當a=0，由f′（x）＞0得到x＜-2，即增區(qū)間為（-∞，-2）；
②當a＜0，f′（x）＞0，得到

2

a

＜x＜2，即增區(qū)間為（

2

a

，2）；
③當0＜a＜1，f′（x）＞0，得到x＞

2

a

或x＜2，即增區(qū)間為（-∞，2），（

2

a

，+∞），
④當a=1，f（x）=（x-2）2≥0，即增區(qū)間為（-∞，+∞）；
⑤當a＞1，f′（x）＞0，得到x＜

2

a

或x＞2，即增區(qū)間為（2，+∞），（-∞，

2

a

）．
（3）假設存在負實數a，使x∈[-1，0]，函數有最小值-3．
因a＜0，由②分兩類（依據：單調性，極小值點是否在區(qū)間[-1，0]上是分類“契機”）：
①當

2

a

≤-1?a≥-2，當x∈[-1，0）⊆（

2

a

，2），f（x）遞增，f（x）_min=f（-1）=-3，
即-

a

3

-（a+1）-3=-3，解得a=-

3

4

＞-2；
②當

2

a

≥-1?a≤-2，由單調性知：f（x）min=f（

2

a

）=-3，化簡得：3a2+3a-1=0，解得
a=

-3± 21

6

＞-2，不合要求．
綜上，存在這樣的負數a，且a=-

3

4

為所求．

點評：本題考查導數的綜合運用：求單調區(qū)間和函數的最值，同時考查分類討論思想方法，考查存在型問題的解法，是一道綜合題．