Question

已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將△ADE折起，使平面ADE上平面ABCE，點(diǎn)O、F分別是AE、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：OF∥平面BDE；
（Ⅱ）平面ODF⊥平面ADE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由三角形中位線定理得OF∥BE，由此能證明OF∥平面 BDE．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出AE=2

2

，BE=2

2

，由勾股定理得AE⊥BE，由此得到OF⊥平面ADE，從而能證明平面ODF⊥平面ADE．

解答： （Ⅰ）證明：∵點(diǎn)O，F(xiàn)分別是AE、AB的中點(diǎn)，
∴OF∥BE，
∵BE?平面BDE，OF?平面BDE，
∴OF∥平面BDE．
（Ⅱ）證明：在矩形ABCD中，
∵E為CD中點(diǎn)，AB=2AD=4，
∴AD=AE=2，∴AE=2

2

，
同理可得BE=2

2

，
在△ABE中，AB=4，AE=BE=2

2

，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BE，
∴平面ADE⊥平面ABCE，
∴BE⊥平面ADE，
∵OF∥BE，∴OF⊥平面ADE，
∴平面ODF⊥平面ADE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面 平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．