Question

如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，.將菱形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

試題分析：（1）利用三角形的中位線平行于相應(yīng)的底邊證明，然后結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可證明平面；（2）先利用翻折時(shí)與的相對(duì)位置不變證明，然后利用勾股定理證明，并結(jié)合直線與平面垂直的判定定理先證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（3）作，連接，利用（2）中的結(jié)論平面，先證明平面，進(jìn)而說(shuō)明為二面角的平面角，然后在中計(jì)算，即可計(jì)算二面角的余弦值.
試題解析：（1）因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021537312547.png" style="vertical-align:middle;" />平面ABD，平面ABD，所以平面.
（2）因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，，所以在三棱錐中，.
在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，
所以.因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021537468851.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021537515432.png" style="vertical-align:middle;" />平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021537577415.png" style="vertical-align:middle;" />平面DOM，所以平面平面.
（3）作于，連結(jié)DE.由（2）知，平面ABC，所以AB.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021537687619.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面ODE.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021537702444.png" style="vertical-align:middle;" />平面ODE，所以.
所以是二面角的平面角.
在Rt△DOE中，，，，
所以.所以二面角的余弦值為.