【題目】已知點(diǎn)在同一個(gè)球的球面上，，，.若四面體體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為_____.

【答案】

【解析】

根據(jù)幾何體的特征，小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，可得DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，從而求出球的半徑，即可求出球的表面積．

根據(jù)題意知，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，

且，，，由余弦定理可得BC，∴△ABC為直角三角形，

∴△ABC外接圓直徑2r＝AC=6，即r＝3，

且S△ABC×3，

AC的中點(diǎn)即為小圓的圓心設(shè)為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，

所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為S△ABC×DQ，

∴DQ＝3，

設(shè)球的半徑為R，則

在直角△AQO中，OA2＝AQ2+OQ2，即R2＝32+（3﹣R）2，∴R，

∴球的表面積為，

故答案為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2012年，在“雜交水稻之父”袁隆平的實(shí)驗(yàn)田內(nèi)種植了，兩個(gè)品種的水稻，為了篩選出更優(yōu)的品種，在，兩個(gè)品種的實(shí)驗(yàn)田中分別抽取7塊實(shí)驗(yàn)田，如圖所示的莖葉圖記錄了這14塊實(shí)驗(yàn)田的畝產(chǎn)量（單位：），通過(guò)莖葉圖比較兩個(gè)品種的均值及方差，并從中挑選一個(gè)品種進(jìn)行以后的推廣，有如下結(jié)論：①品種水稻的平均產(chǎn)量高于品種水稻，推廣品種水稻；②品種水稻的平均產(chǎn)量高于品種水稻，推廣品種水稻；③品種水稻比品種水稻產(chǎn)量更穩(wěn)定，推廣品種水稻；④品種水稻比品種水稻產(chǎn)量更穩(wěn)定，推廣品種水稻；其中正確結(jié)論的編號(hào)為( )

A.①②B.①③C.②④D.①④

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（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線l，使得 ，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由；

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【題目】設(shè)是直線，是兩個(gè)不同的平面，則以下說(shuō)法正確的是（ ）

A.若，，則B.若，，則

C.若，，則D.若，，則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛（Alberobello），這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?/span>Trullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄（如圖1）.現(xiàn)測(cè)量一個(gè)屋頂，得到圓錐SO的底面直徑AB長(zhǎng)為12m，母線SA長(zhǎng)為18m（如圖2）.C，D是母線SA的兩個(gè)三等分點(diǎn)（點(diǎn)D靠近點(diǎn)A），E是母線SB的中點(diǎn).

（1）從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長(zhǎng)度；

（2）現(xiàn)對(duì)屋頂進(jìn)行加固，在底面直徑AB上某一點(diǎn)P，向點(diǎn)D和點(diǎn)E分別引直線型鋼管PD和PE.試確定點(diǎn)P的位置，使得鋼管總長(zhǎng)度最小.

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【題目】若5個(gè)人按原來(lái)站的位置重新站成一排，恰有一人站在自己原來(lái)的位置上的概率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】2019年4月23日“世界讀書(shū)日”來(lái)臨之際，某校為了了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，按閱讀時(shí)間分組：第一組[0,5), 第二組[5,10)，第三組[10,15)，第四組[15,20)，第五組[20,25]，繪制了頻率分布直方圖如下圖所示。已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍。

（1）求的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值；

（2）現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加�！爸腥A詩(shī)詞比賽”。經(jīng)過(guò)比賽后，從這6人中隨機(jī)挑選2人組成該校代表隊(duì)，求這2人來(lái)自不同組別的概率。

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【題目】如圖，已知一個(gè)八面體的各條棱長(zhǎng)均為，四邊形為正方形，給出下列命題：

①不平行的兩條棱所在的直線所成的角是或； ②四邊形是正方形；

③點(diǎn)到平面的距離為； ④平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

其中正確的命題全部序號(hào)為_________________

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【題目】詹姆斯·哈登（James Harden）是美國(guó)NBA當(dāng)紅球星，自2012年10月加盟休斯頓火箭隊(duì)以來(lái)，逐漸成長(zhǎng)為球隊(duì)的領(lǐng)袖．2017-18賽季哈登當(dāng)選常規(guī)賽MVP(最有價(jià)值球員)．

年份

2012-13

2013-14

2014-15

2015-16

2016-17

2017-18

年份代碼t

1

2

3

4

5

6

常規(guī)賽場(chǎng)均得分y

25.9

25.4

27.4

29.0

29.1

30.4

（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的線性回歸方程（，*）；

（Ⅱ）根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)哈登在2019-20賽季常規(guī)賽場(chǎng)均得分．

（附）對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，

(參考數(shù)據(jù)，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

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