Question

已知函數(shù)f（x）=

b-ax

x2+1

．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)2b=a²-1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，得到兩個(gè)條件f（1）=2，f′（1）=0，利用兩個(gè)條件解a，b的值
（Ⅱ）由2b=a²-1，代入進(jìn)行消元，然后求導(dǎo)，討論a的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（Ⅰ）由于f(x)=

b-ax

x2+1

，則f′(x)=

-a(x2+1)-2x(b-ax)

(x2+1)2

=

ax2-2bx-ax

(x2+1)2

因?yàn)閒（x）在x=1處有極值2，所以有

f′(1)=0 f(1)=2

，即

a-2b-a=0 b-a 2 =2

，
解得

a=-4 b=0

，經(jīng)檢驗(yàn)a=-4，b=0符合題意．
所以，當(dāng)f（x）在x=1處有極值2時(shí)，a=-4，b=0．
（Ⅱ）因2b=a²-1，所以f′(x)=

ax2-(a2-1)x-ax

(x2+1)2

=

(ax+1)(x-a)

(x2+1)2

①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x

(x2+1)2

，令f′（x）=0，得x=0，
則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
所以f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）．
②當(dāng)a≠0時(shí)，令f′（x）=0，得x=a，或x=-

1

a

i）當(dāng)a＞0時(shí)，-

1

a

＜a，
則當(dāng)x∈（-

1

a

，a）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈(-∞，-

1

a

)或（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
所以f（x）的增區(qū)間為(-∞，-

1

a

)，（a，+∞），減區(qū)間為(-

1

a

，a)．
ii）當(dāng)a＜0時(shí)，得-

1

a

＞a．
則當(dāng)x∈（a，-

1

a

）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-∞，a）或（-

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
所以f（x）的增區(qū)間為(a，-

1

a

)，減區(qū)間為（-∞，a），（-

1

a

，+∞）．
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）．
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為(-∞，-

1

a

)，（a，+∞），減區(qū)間為(-

1

a

，a)．
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為(a，-

1

a

)，減區(qū)間為（-∞，a），（-

1

a

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性問題．對(duì)應(yīng)含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．