Question

已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常量且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，6），B（3，24），
（1）試確定f（x）；
（2）若不等式（

1

a

） ^x+（

1

b

） ^x-m≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A（1，6），B（3，24）代入函數(shù)的解析式求出a、b的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）由題意可得m≥(

1

2

)x+(

1

3

)x 在[0，+∞）上恒成立，根據(jù) (

1

2

)x+(

1

3

)x 在[0，+∞）上是減函數(shù)，求出它的最大值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常量且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，6），B（3，24），
∴

b•a=6 b•a3=24

，解得 a=2，b=3，故f（x）=3×2^x．
（2）不等式（

1

a

） ^x+（

1

b

） ^x-m≤0 在[0，+∞）上恒成立，故m≥(

1

2

)x+(

1

3

)x 在[0，+∞）上恒成立．
令g（x）=(

1

2

)x+(

1

3

)x，則g（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，故m≥g_max（x）=g（0）=2，
故m的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．