Question

已知函數(shù)f（x）=b•a^x（a＞0且a≠1），且f（k）=8f（k-3）（k≥4，k∈N*）．
（1）若b=8，求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；
（2）若f（1）、16、128依次是某等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第k-3項(xiàng)，第k項(xiàng)，試問：是否存在正整數(shù)n，使得f（n）=2（n²-100）成立，若存在，請(qǐng)求出所有的n及b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=b•a^x（a＞0且a≠1），且f（k）=8f（k-3）（k≥4，k∈N*），知8a⁴=64a，解得a=2．由此能夠包出f（1）+f（2）+…+f（n）=8[a+a²+a³+…+aⁿ]=8×

a(1-an)

1-a

=16（2ⁿ-1）．
（2）由f（1）、16、128依次是某等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第k-3項(xiàng)，第k項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d=

112

3

．由a=2，知f（1）=2b，b=

248-56k

3

．由題意知，要使方程b2ⁿ=2（n²-100）有正整數(shù)解，則b=

248-56k

3

=64-56m，m∈N+，由此進(jìn)行分類討論能夠得到存在正整數(shù)n，使得f（n）=2（n²-100）成立，此時(shí)b=-48．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=b•a^x（a＞0且a≠1），且f（k）=8f（k-3）（k≥4，k∈N*），
∴f（4）=8f（1），即8a⁴=64a，
解得a=2．
∵b=8，f（x）=8a^x，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）
=8[a+a²+a³+…+aⁿ]
=8×

a(1-an)

1-a

=16（2ⁿ-1）．
（2）∵f（1）、16、128依次是某等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第k-3項(xiàng)，第k項(xiàng)，
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∴d=

112

3

，
由（1）知a=2，∴f（1）=2b，
∴128=2b+（k-1）×

112

3

，∴b=

248-56k

3

（k≥4，k∈Z），（*）
由題意知，要使方程b2ⁿ=2（n²-100）有正整數(shù)解，結(jié)合（*）式可知b的取值為整數(shù)，
故b=

248-56k

3

=64-56m，m∈N+，
令g（x）=f（x）-2（x²-100）=b2^x-2x²+200，
①當(dāng)b＞0時(shí)，b=8，g（x）=8•2^x-2x²+200，
g′（x）=bln2•2^x-4x=4（2ln2•2^x-x），
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，2ln2•2^x-x＞2^x-x＞0，
則g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
而g（1）=214＞0，∴g（x）＞0，x∈[1，+∞），
∴當(dāng)b=8時(shí)，不存在正整數(shù)n，使得f（n）=2（n²-100）成立．
②當(dāng)b＜0時(shí)，由b=64-56m，m∈N₊可知
若m＞2，m∈N₊，即b=64-56m≤-104，
則g（x）=b2^x-2x²+200＜0對(duì)一切x∈[1，+∞）都成立，
∴不存在正整數(shù)n，使得f（n）=2（n²-100）成立．
當(dāng)m=2時(shí)，b為-48，g（x）=-48×2^x-2x²+200，
∴g（x）在[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
又g（1）=102＞0，
g（2）=-48×4-8+200=0，
∴存在n=2，滿足f（n）=2（n²-100）．
綜上所述：存在正整數(shù)n，使得f（n）=2（n²-100）成立，此時(shí)b=-48．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．