Question

直線AB過拋物線x²=2py（p>0）的焦點F，并與其相交于A、B兩點，Q是線段AB的中點，M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點，O是坐標(biāo)原點.

   （Ⅰ）求的取值范圍；

   （Ⅱ）過A、B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點.

        求證：；

   （Ⅲ）若p是不為1的正整數(shù)，當(dāng)，△ABN的面積的取值范圍為［5，20］時，求該拋物線的方程.

Answer 1

（Ⅰ）·的取值范圍是.   

   （Ⅱ）證明見解析

   （Ⅲ）拋物線的方程：x²=4y.    

解析:

（Ⅰ）由條件得M(0，－)，F(0，).設(shè)直線AB的方程為

         y=kx+，A(，)，B(，)

         則，，Q().   …………………………2分

         由得.

         ∴由韋達(dá)定理得+=2pk，·=－    …………………………3分

         從而有= +=k(+)+p=2pk÷p.

         ∴·的取值范圍是.      …………………………4分

   （Ⅱ）拋物線方程可化為，求導(dǎo)得.

         ∴       =y     .

         ∴切線NA的方程為：y－即.

         切線NB的方程為：  …………………………6分

         由解得∴N()

         從而可知N點Q點的橫坐標(biāo)相同但縱坐標(biāo)不同.

         ∴NQ∥OF.即    …………………………7分

         又由（Ⅰ）知+=2pk，·=－p

         ∴N(pk，－).      …………………………8分

         而M(0，－)  ∴

         又. ∴.       …………………………9分

   （Ⅲ）由.又根據(jù)(Ⅰ)知

         ∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.   …………………………10分

         由于=(－pk，p)，  

         ∴

         從而.         …………………………11分

         又||=，||=

         ∴.

         而的取值范圍是［5，20］.

         ∴5≤5p²≤20，1≤p²≤4.   …………………………13分

         而p>0，∴1≤p≤2.

         又p是不為1的正整數(shù).

         ∴p=2.

         故拋物線的方程：x²=4y.      …………………………14分