Question

直線AB過拋物線x²=2py（p>0）的焦點(diǎn)F，并與其相交于A、B兩點(diǎn)，Q是線段AB的中點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).

   （Ⅰ）求的取值范圍；

   （Ⅱ）過A、B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn).

        求證：；

   （Ⅲ）若p是不為1的正整數(shù)，當(dāng)，△ABN的面積的取值范圍為［5，20］時(shí)，求該拋物線的方程.

Answer 1

（Ⅰ）·的取值范圍是.   

   （Ⅱ）證明見解析

   （Ⅲ）拋物線的方程：x²=4y.    

解析:

（Ⅰ）由條件得M(0，－)，F(0，).設(shè)直線AB的方程為

       y=kx+，A(，)，B(，)

       則，，Q().   …………………………2分

       由得.

       ∴由韋達(dá)定理得+=2pk，·=－    …………………………3分

       從而有= +=k(+)+p=2pk÷p.

       ∴·的取值范圍是.      …………………………4分

   （Ⅱ）拋物線方程可化為，求導(dǎo)得.

       ∴       =y     .

       ∴切線NA的方程為：y－即.

       切線NB的方程為：  …………………………6分

       由解得∴N()

       從而可知N點(diǎn)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同但縱坐標(biāo)不同.

       ∴NQ∥OF.即    …………………………7分

       又由（Ⅰ）知+=2pk，·=－p

       ∴N(pk，－).      …………………………8分

       而M(0，－)  ∴

       又. ∴.       …………………………9分

   （Ⅲ）由.又根據(jù)(Ⅰ)知

       ∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.   …………………………10分

       由于=(－pk，p)，  

       ∴

       從而.         …………………………11分

       又||=，||=

       ∴.

       而的取值范圍是［5，20］.

       ∴5≤5p²≤20，1≤p²≤4.   …………………………13分

       而p>0，∴1≤p≤2.

       又p是不為1的正整數(shù).

       ∴p=2.

       故拋物線的方程：x²=4y.      …………………………14分