【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若對于任意的都有，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時， 取得極小值為，無極大值．；（Ⅱ）當(dāng)時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時， 在上是減函數(shù)，當(dāng)時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（Ⅲ） ．

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 當(dāng)時， ，定義域為， ．據(jù)此可得當(dāng)時， 取得極小值為，無極大值．

(Ⅱ) 當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，且．分類討論有：

（1）當(dāng)時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)時， 在上是減函數(shù)；

（3）當(dāng)時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

(Ⅲ) 由（Ⅱ）知，當(dāng)時， 在上是減函數(shù)．原問題等價于對任意恒成立，分離參數(shù)有對任意恒成立．據(jù)此可得實數(shù)的取值范圍為．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時， ，定義域為，

的導(dǎo)函數(shù)．

當(dāng)時， ， 在上是減函數(shù)；

當(dāng)時， ， 在上是增函數(shù)．

∴當(dāng)時， 取得極小值為，無極大值．

（Ⅱ）當(dāng)時， 的定義域為， 的導(dǎo)函數(shù)為．

由得， ， ．

（1）當(dāng)時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)時， 在上是減函數(shù)；

（3）當(dāng)時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時， 在上是減函數(shù)．

∴．

∵對于任意的都有，

∴對任意恒成立，

∴對任意恒成立．

當(dāng)時， ，∴．

∴實數(shù)的取值范圍為．

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售出水量x（單位：箱）

7

6

6

5

6

收益y（單位：元）

165

142

148

125

150

(Ⅰ) 若x與y成線性相關(guān)，則某天售出8箱水時，預(yù)計收益為多少元？

(Ⅱ) 期中考試以后，學(xué)校決定將誠信用水的收益，以獎學(xué)金的形式獎勵給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生考入年級前200名，獲一等獎學(xué)金500元；考入年級201—500 名，獲二等獎學(xué)金300元；考入年級501名以后的特困生將不獲得獎學(xué)金。甲、乙兩名學(xué)生獲一等獎學(xué)金的概率均為，獲二等獎學(xué)金的概率均為，不獲得獎學(xué)金的概率均為.

⑴在學(xué)生甲獲得獎學(xué)金條件下，求他獲得一等獎學(xué)金的概率；

⑵已知甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個等第的獎學(xué)金是相互獨(dú)立的，求甲、乙兩名學(xué)生所獲得獎學(xué)金總金額X 的分布列及數(shù)學(xué)期望。

附： ， 。

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