【題目】已知如下等式: , , ,…當(dāng)n∈N*時(shí),試猜想12+22+32+…+n2的值,并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.
【答案】解:由已知,猜想12+22+32+…+n2= , 下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明:
①當(dāng)n=1時(shí),由已知得原式成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),原式成立,即12+22+32+…+k2= ,
那么,當(dāng)n=k+1時(shí),12+22+32+…+(k+1)2= +(k+1)2
=
=
故n=k+1時(shí),原式也成立.
由①、②知12+22+32+…+n2= 成立
【解析】解答此類的方法是從特殊的前幾個(gè)式子進(jìn)行分析找出規(guī)律.觀察前幾個(gè)式子的變化規(guī)律,從中猜想12+22+32+…+n2的值.再用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明時(shí)分為兩個(gè)步驟,第一步,先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí),命題成立,第二步,先假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),原式成立,利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理;數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列如圖,則q等于( )
x | ﹣1 | 0 | 1 |
P | 0.5 | 1﹣2q | q2 |
A.1
B.1±
C.1﹣
D.1+
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的極值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對于任意的都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有編號為1,2,3的三個(gè)白球,編號為4,5,6的三個(gè)黑球,這六個(gè)球除編號和顏色外完全相同,現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球.
(1)求取得的兩個(gè)球顏色相同的概率;
(2)求取得的兩個(gè)球顏色不相同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是邊長為2的正方形的邊的中點(diǎn),將與分別沿、折起,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,記為點(diǎn),得到三棱錐.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(3)求證:對任意的正數(shù)a與b,恒有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù)y=2sin(2x+ )的圖象,只需把函數(shù)y=2sinx的圖象( )
A.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)
B.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍(縱坐標(biāo)不變)
C.各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再把所得圖象向左平移 個(gè)單位長度
D.各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍,再把所得圖象向左平移 個(gè)單位長度
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求證: ;
(2)設(shè)函數(shù) ,且有兩個(gè)不同的零點(diǎn) ,
①求實(shí)數(shù)的取值范圍; ②求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】命題p:若a、b∈R,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件;命題q:函數(shù)y= 的定義域是(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),則( )
A.“p或q”為假
B.“p且q”為真
C.p真q假
D.p假q真
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