Question

【題目】已知向量 =（cosωx﹣sinωx，sinωx）， =（﹣cosωx﹣sinωx，2 cosωx），設函數(shù)f（x）= +λ（x∈R）的圖象關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈（ ，1）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象經過點（ ，0）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0， ]上的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= +λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2 cosωx+λ

=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+ sin2ωx+λ

= sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣ ）+λ

∵圖象關于直線x=π對稱，∴2πω﹣ = +kπ，k∈z

∴ω= + ，又ω∈（ ，1）

∴k=1時，ω=

∴函數(shù)f（x）的最小正周期為 =

（2）解：∵f（ ）=0

∴2sin（2× × ﹣ ）+λ=0

∴λ=﹣

∴f（x）=2sin（ x﹣ ）﹣

由x∈[0， ]

∴ x﹣ ∈[﹣ ， ]

∴sin（ x﹣ ）∈[﹣ ，1]

∴2sin（ x﹣ ）﹣ =f（x）∈[﹣1﹣ ，2﹣ ]

故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0， ]上的取值范圍為[﹣1﹣ ，2﹣ ]

【解析】（1）先利用向量數(shù)量積運算性質，求函數(shù)f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數(shù)f（x）化為y=Asin（ωx+φ）+k型函數(shù)，最后利用函數(shù)的對稱性和ω的范圍，計算ω的值，從而得函數(shù)的最小正周期；（2）先將已知點的坐標代入函數(shù)解析式，求得λ的值，再求內層函數(shù)的值域，最后將內層函數(shù)看做整體，利用正弦函數(shù)的圖象和性質即可求得函數(shù)f（x）的值域．