Question

已知正三棱臺(tái)的上下底面積分別是

3

與4

3

，它的側(cè)棱長為

3

，求它的高與斜高．

Answer 1

考點(diǎn)：棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：做出正三棱臺(tái)，然后利用正三角形的面積公式求上下底面邊長，作輔助線，在Rt△AA₁M中求高，在Rt△E₁EN中，求斜高．

解答： 解析　如上圖，設(shè)正三棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為O₁，O，連接A₁O₁，AO并延長分別交對(duì)邊于E₁、E，則E₁E為斜高，O₁O為高．
過A₁作A₁M⊥AE于M，過E₁作E₁N⊥AE于N，則A₁O₁OM、O₁ONE₁都為矩形．
設(shè)上、下底面邊長分別為a、b，則

3

4

a²=

3

，

3

4

b²=4

3

，∴a=2，b=4，∴AO=

4 3

3

，A₁O₁=

2 3

3

．
∴AM=AO-A₁O₁=

2 3

3

．
在Rt△AA₁M中，
A₁M=

A1A2-AM2

=

( 3 )2-( 2 3 3 )2

=

15

3

，
高O₁O=

15

3

．
同理EN=EO-E₁O₁=

3

6

×4-

3

6

×2=

3

3

．
在Rt△E₁EN中，
斜高E₁E=

E1N2+EN2

=

( 15 3 )2+( 3 3 )2

 =

2

．

點(diǎn)評(píng)：利用圖形解題可直觀顯現(xiàn)空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，利于解題．