Question

已知直角梯形PBCD，A是PD邊上的中點(diǎn)（如圖甲），∠D=∠C=

π

2

，BC=CD=2，PD=4，將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點(diǎn)E在SD上，且

SE

=

1

3

SD

，（如圖乙）
（1）求證：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）利用線面垂直的判定定理即可；（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACD與面EAC的法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式計(jì)算出它們的夾角的余弦值．

解答： 證明：BA⊥PD，ABCD為正方形，所以在圖乙中，SA⊥AB，SA=2，
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
因?yàn)镾B⊥BC，AB⊥BC，且SB∩AB=B，
所以BC⊥平面SAB，…（3分）
又SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，且BC∩AB=B，
所以SA⊥平面ABCD．…（6分）
（2）解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖乙，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）
圖乙
S（0，0，2），E（0，

2

3

，

4

3

），…（7分）
易知平面ACD的法向量為

AS

=（0，0，2），
設(shè)平面EAC的法向量為

n

=（x，y，z），

AC

（2，2，0），

AE

=（0，

2

3

，

4

3

），…（9分）
由

n • AC =0 n • AE =0

 所以

x+y=0 y+2z=0

 可取

x=2 y=-2 z=1

所以

n

=（2，-2，1），…（11分）
所以cos＜

n

，

AS

＞=

n • AS

| n| | AS|

=

2

2×3

=

1

3

，
所以二面角E-AC-D的余弦值為

1

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定及二面角的平面角的計(jì)算．