Question

某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不能超過(guò)利潤(rùn)的25%．現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，分析與推導(dǎo)哪個(gè)函數(shù)模型能符合該公司的要求？并給予證明．（注：1.002⁵⁰⁰≈2.7）

Answer 1

分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③y≤x•25%，然后一一驗(yàn)證即可．

解答：解：函數(shù)f1(x)=0.25x，f3(x)=1.002x在[10，1000]內(nèi)單調(diào)遞增，且f₁（1000）=250，f3(1000)=(1+0.002)1000=[(1+0.002)500]2≈2.72=7.29，兩者都大于5萬(wàn)元，因而第一、三兩個(gè)模擬函數(shù)顯然不符合公司要求．…（3分）
而對(duì)于函數(shù)f₂（x）=log₇x+1，函數(shù)在[10，1000]上也是單調(diào)遞增的，而且f2(1000)=log71000+1＜log774+1=5，因而符合第一個(gè)要求；…（6分）
下面再考慮

y

x

=

log7x+1

x

≤0.25是否在[10，1000]上恒成立．
令f(x)=log7x-

1

4

x+1，x∈[10，1000]，
則f′(x)=

1

x

log7e-

1

4

≤

1

10

log7e-

1

4

＜

1

10

-

1

4

＜0，
從而fmax(x)=f(10)=log710-

3

2

=

3

2

(log343100-1)＜0，則f（x）＜0．
即

y

x

=

log7x+1

x

≤0.25成立，因而符合公司的第二個(gè)要求．
綜上所述，只有模型y=log₇x+1能符合公司要求．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．