Question

設函數(shù)f（x）=x（9-x），對于任意給定的m位自然數(shù)n₀=

.

amam-1…a2a1

（其中a₁是個位數(shù)字，a₂是十位數(shù)字，…），定義變換A：A（n₀）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）．并規(guī)定A（0）=0．記n₁=A（n₀），n₂=A（n₁），…，n_k=A（n_k-1），…．
（Ⅰ）若n₀=2015，求n₂₀₁₅；
（Ⅱ）當m≥3時，證明：對于任意的m（m∈N^*）位自然數(shù)n均有A（n）＜10^m-1；
（Ⅲ）如果n₀＜10^m（m∈N^*，m≥3），寫出n_m的所有可能取值．（只需寫出結論）

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：（Ⅰ）由已知中變換A：A（n₀）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）．并規(guī)定A（0）=0．記n₁=A（n₀），n₂=A（n₁），…，n_k=A（n_k-1），將n₀=2015，代入可得答案．
（Ⅱ）由函數(shù)f(x)=x(9-x)=-(x-

9

2

)2+

81

4

，可得對于非負整數(shù)x，均有f（x）=x（9-x）≤20．當x=4或5時，取到最大值，故 A（n）≤20m，令 g（m）=10^m-1-20m，分析函數(shù)的最值上，可得結論；
（Ⅲ）如果n₀＜10^m（m∈N^*，m≥3），則n_m的所有可能取值為0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．

解答： 解：（Ⅰ）n₁=14+0+8+20=42，
n₂=20+14=34，
n₃=18+20=38，
n₄=18+8=26，
n₅=14+18=32，
n₆=18+14=32，
…
所以 n₂₀₁₅=32．                                            …（3分）
證明：（Ⅱ）因為函數(shù)f(x)=x(9-x)=-(x-

9

2

)2+

81

4

，
所以對于非負整數(shù)x，知f（x）=x（9-x）≤20．（當x=4或5時，取到最大值）…（4分）
因為 A（n）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m），
所以 A（n）≤20m．                                         …（6分）
令 g（m）=10^m-1-20m，則g（3）=10^3-1-20×3＞0．
當m≥3時，g（m+1）-g（m）=10^m-20（m+1）-10^m-1+20m=9×10^m-1-20＞0，
所以 g（m+1）-g（m）＞0，函數(shù)g（m），（m∈N，且m≥3）單調遞增．
故 g（m）≥g（3）＞0，即10^m-1＞20m≥A（n）．
所以當m≥3時，對于任意的m位自然數(shù)n均有A（n）＜10^m-1．…（9分）
解：（Ⅲ）n_m的所有可能取值為0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．
…（14分）

點評：本題考查的知識點是合情推理，其中正解理解變換A：A（n₀）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）．及規(guī)定A（0）=0．記n₁=A（n₀），n₂=A（n₁），…，n_k=A（n_k-1）的含義是解答的關鍵．