Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，過(guò)左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=1．（1）求橢圓E的方程：（2）設(shè)P，Q是橢圓E上的兩點(diǎn)，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓O，使得直線PQ都與定圓O相切？若存在，請(qǐng)求出圓O的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和過(guò)焦點(diǎn)垂直于x軸的弦長(zhǎng)，以及a，b，c的關(guān)系，即可解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．則橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，設(shè)P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，θ+

π

2

），（0＜θ＜

π

2

），當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)存在定圓O，使得直線PQ都與定圓O相切．則設(shè)定圓O的半徑為r，則在三角形OPQ中，運(yùn)用面積相等即有

1

2

r|PQ|=

1

2

|OP|•|OQ|，化簡(jiǎn)整理，即可解得r．

解答： 解：（1）橢圓的離心率為

3

2

，即有

c

a

=

3

2

，
令x=-c，則y=±b

1- c2 a2

=±

b2

a

，即有

2b2

a

=1，
又a²-b²=c²，解得，a=2，b=1．
則橢圓E：

x2

4

+y²=1；
（2）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
則橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，
設(shè)P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，θ+

π

2

），（0＜θ＜

π

2

），
當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)存在定圓O，使得直線PQ都與定圓O相切．
則設(shè)定圓O的半徑為r，則在三角形OPQ中，

1

2

r|PQ|=

1

2

|OP|•|OQ|，
即有r

ρ12+ρ22

=ρ₁ρ₂，
即有r²•（

4

cos2θ+4sin2θ

+

4

sin2θ+4cos2θ

）=

4

cos2θ+4sin2θ

•

4

sin2θ+4cos2θ

，
化簡(jiǎn)得，4r²•5=16，解得，r²=

4

5

．
故當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在定圓O：x²+y²=

4

5

，使得直線PQ都與定圓O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓的極坐標(biāo)方程及運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)和運(yùn)算能力，屬于中檔題．