Question

已知?jiǎng)訄AC過(guò)點(diǎn)A（1，0），且與定直線l₀：x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡D方程；
（2）設(shè)圓心C的軌跡在x≤4的部分為曲線E，過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線l與曲線E交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且

PA

=λ

PB

（λ＞1），試求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得圓心C到點(diǎn)A的距離等于到直線l₀的距離，從而得到圓心C的軌跡是拋物線，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，由此能求出動(dòng)圓圓心C的軌跡D的方程．
（2）由題意設(shè)l的方程為y=kx+2，由圖象，得k≤-

3

2

，作AA₁⊥y軸，BB₁⊥y軸，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則λ=

x1

x2

，解方程組

y2=4x y=kx+2

，得k²x²+4（k-1）x+4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)A（1，0），且與定直線l₀：x=-1相切，
∴圓心C到點(diǎn)A的距離等于到直線l₀的距離，
∴圓心C的軌跡是拋物線，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，

p

2

=1，
∴動(dòng)圓圓心C的軌跡D的方程為：y²=4x．
（2）由題意得過(guò)點(diǎn)P的直線l與拋物線D有兩個(gè)交點(diǎn)，
則l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為y=kx+2，
由圖象，得k≤-

3

2

，
作AA₁⊥y軸，BB₁⊥y軸，垂足分別為A₁，B₁，
則λ=

|PA|

|PB|

=

|PA1|

|PB1|

=

|AA1|

|BB1|

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則λ=

x1

x2

，
解方程組

y2=4x y=kx+2

，得k²x²+4（k-1）x+4=0，
△=16（k-1）²-16k²=16（1-2k），
x1=

2(1-k)+2 1-2k

k2

，x2=

2(1-k)-2 1-2k

k2

，
∴

x1

x2

=

(1-k)+ 1-2k

(1-k)- 1-2k

，
設(shè)

1-2k

=t，由k≤-

3

2

，得

1-2k

≥2，k=

1-t2

2

，
∴

x1

x2

=

1- 1-t2 2 +t

1- 1-t2 2 -t

=（

t+1

t-1

）²=（1+

2

t-1

）²，
∵t≥2，∴t-1≥1，0＜

2

1-t

≤2，1＜1+

2

1-t

≤3，
∴1＜（1+

2

1-t

）²≤9，∴λ的取值范圍為（1，9]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)圓圓心的軌跡方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．