Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex（x2﹣a），a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（﹣3，0）上單調(diào)遞減，試求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的最小值為﹣2e，試求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知f'（x）=ex（x2+2x﹣a）．

因?yàn)閍=1，則f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，

所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．

即x+y+1=0．

（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（﹣3，0）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x∈（﹣3，0）時，f'（x）=ex（x2+2x﹣a）≤0恒成立．

即當(dāng)x∈（﹣3，0）時，x2+2x﹣a≤0恒成立．

顯然，當(dāng)x∈（﹣3，﹣1）時，函數(shù)g（x）=x2+2x﹣a單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（﹣1，0）時，函數(shù)g（x）=x2+2x﹣a單調(diào)遞增．

所以要使得“當(dāng)x∈（﹣3，0）時，x2+2x﹣a≤0恒成立”，

等價于 即 所以a≥3．

（3）解：設(shè)g（x）=x2+2x﹣a，則△=4+4a．

①當(dāng)△=4+4a≤0，即a≤﹣1時，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．

所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）單增，所以函數(shù)f（x）沒有最小值．

②當(dāng)△=4+4a＞0，即a＞﹣1時，令f'（x）=ex（x2+2x﹣a）=0得x2+2x﹣a=0，

解得

隨著x變化時，f（x）和f'（x）的變化情況如下：

x
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

當(dāng)x∈ 時， ．

所以 ．

所以f（x）=ex（x2﹣a）＞0．

又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最小值為﹣2e＜0，

所以函數(shù)f（x）的最小值只能在 處取得．

所以 ．

所以 ．

易得 ．

解得a=3．

以下證明解的唯一性，僅供參考：

設(shè)

因?yàn)閍＞0，所以 ， ．

設(shè) ，則 ．

設(shè)h（x）=﹣xex，則h'（x）=﹣ex（x+1）．

當(dāng)x＞0時，h'（x）＜0，從而易知g（a）為減函數(shù)．

當(dāng)a∈（0，3），g（a）＞0；當(dāng)a∈（3，+∞），g（a）＜0．

所以方程 只有唯一解a=3

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出x=0處的切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程；（2）函數(shù)f（x）在（﹣3，0）上單調(diào)遞減，即當(dāng)x∈（﹣3，0）時，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“當(dāng)x∈（﹣3，0）時，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等價于 即 所以a≥3．（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)f（x）的最小值只能在 處取得．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．