Question

設(shè)函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導(dǎo)函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（2）討論與的大小關(guān)系；

（3）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜對任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在請說明理由．

 

Answer 1

（1）g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），最小值為；（2）當0＜x＜1時，；當x＞1時，；（3）滿足條件的x0不存在．證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)得，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號即可確定g（x）的單調(diào)區(qū)間，進而求出其最小值；（2）為了確定與的大小關(guān)系，便作差判斷其符號.設(shè)，則，因此在內(nèi)單調(diào)遞減.接下來就確定函數(shù)的零點.易知h（1）=0，即；所以當0＜x＜1，時，h（x）＞h（1）=0，即，當x＞1，時，h（x）＜h（1）=0，即；（3）根據(jù)（1）題的結(jié)果可作出的大致圖象；再作出的圖象，結(jié)合圖象可看出，不論取多少，當的值充分大時，必有，所以滿足條件的x0不存在．接下來就是想方設(shè)法找出一個，使得.為了更容易地找出這樣的，我們將變形為，對左邊的不等式，易看出當時便不成立.從而問題得證.

試題解析：（1）由題設(shè)易知，

∴，令，得，

當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，故g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），

當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），

因此是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，

∴最小值為；

（2），

設(shè)，

則，

當x=1時，h（1）=0，即，

當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，h′（x）＜0，h′（1）=0，

因此，h（x）在內(nèi)單調(diào)遞減，

當0＜x＜1，時，h（x）＞h（1）=0，即，

當x＞1，時，h（x）＜h（1）=0，即，

（3）滿足條件的x0不存在．證明如下：假設(shè)存在x0＞0，

使成立，即對任意x＞0，

有，（*）

但對上述x0，取時，

有，這與（*）左邊不等式矛盾，

因此，不存在x0＞0，使成立．

考點：1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；2、導(dǎo)數(shù)與不等式.