【題目】已知函數(shù)f(x)=,若對于t∈R,f(t)≤kt恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是________.
【答案】[,1]
【解析】
本題條件“t∈R,f(t)≤kt”的幾何意義是:在(-∞,+∞)上,函數(shù)y=f(t)的圖像恒在直線y=kt的下方,利用數(shù)形結(jié)合的方法解決本問題.
令y=x3-2x2+x,x<1,則y′=3x2-4x+1=(x-1)·(3x-1),
令y′>0,即(x-1)(3x-1)>0,解得x<或x>1.又因為x<1,所以x<.
令y′<0,得<x<1.
所以y的增區(qū)間是(-∞),減區(qū)間是(,1),所以y極大值=.
根據(jù)圖像變換可作出函數(shù)y=-|x3-2x2+x|,x<1的圖像.
又設(shè)函數(shù)y=lnx(x≥1)的圖像經(jīng)過原點的切線斜率為k1,切點(x1,lnx1),
因為y′=,所以k1==,解得x1=e,所以k1=.
函數(shù)y=x3-2x2+x在原點處的切線斜率k2=y′x=0=1.
因為t∈R,f(t)≤kt,所以根據(jù)f(x)的圖像,數(shù)形結(jié)合可得≤k≤1.
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【題目】(本小題滿分12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)證明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。
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【題目】某市一所高中為備戰(zhàn)即將舉行的全市羽毛球比賽,學校決定組織甲、乙兩隊進行羽毛球?qū)官悓崙?zhàn)訓練.每隊四名運動員,并統(tǒng)計了以往多次比賽成績,按由高到低進行排序分別為第一名、第二名、第三名、第四名.比賽規(guī)則為甲、乙兩隊同名次的運動員進行對抗,每場對抗賽都互不影響,當甲、乙兩隊的四名隊員都進行一次對抗賽后稱為一個輪次.按以往多次比賽統(tǒng)計的結(jié)果,甲、乙兩隊同名次進行對抗時,甲隊隊員獲勝的概率分別為,,,.
(1)進行一個輪次對抗賽后一共有多少種對抗結(jié)果?
(2)計分規(guī)則為每次對抗賽獲勝一方所在的隊得1分,失敗一方所在的隊得0分,設(shè)進行一個輪次對抗賽后甲隊所得分數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】函數(shù),,.
(1)設(shè),假設(shè)在上遞減,求的取值范圍;
(2)假設(shè),求證:.
(3)是否存在實數(shù),使得恒成立,假設(shè)存在,求出的取值范圍,假設(shè)不存在,請說明理由.
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【題目】設(shè)是首項為,公差為的等差數(shù)列,是首項為,公比為q的等比數(shù)列.
(1)設(shè),若對均成立,求d的取值范圍;
(2)若,證明:存在,使得對n=2,3,···,m+1均成立,并求d的取值范圍(用表示).
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【題目】已知函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)令,且函數(shù)有三個彼此不相等的零點,其中.
①若,求函數(shù)在處的切線方程;
②若對,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程;
(2)若點與點分別為曲線動點,求的最小值,并求此時的點坐標.
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【題目】已知分別為橢圓的左、右焦點,為該橢圓的一條垂直于軸的動弦,直線與軸交于點,直線與直線的交點為.
(1)證明:點恒在橢圓上.
(2)設(shè)直線與橢圓只有一個公共點,直線與直線相交于點,在平面內(nèi)是否存在定點,使得恒成立?若存在,求出該點坐標;若不存在,說明理由.
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