Question

如果函數(shù)y=f(x)(x∈D)滿足:

①f(x)在D上是單調(diào)函數(shù);

②存在閉區(qū)間［a,b］?D,使f(x)在區(qū)間［a,b］上的值域也是［a,b］.

那么就稱函數(shù)y=f(x)為閉函數(shù).

試判斷函數(shù)y=x²+2x〔x∈［-1,+∞)〕是否為閉函數(shù),如果是閉函數(shù),那么求出符合條件的區(qū)間［a,b］；如果不是閉函數(shù),請說明理由.

Answer 1

思路分析：本題立意新穎,背景鮮明,設(shè)問靈活,體現(xiàn)了考查能力和素質(zhì)的要求.閉函數(shù)的概念是教材上沒有的，這類問題的給出可以是新概念、新定理或新規(guī)則，其解決策略是先讀懂題目，進(jìn)行信息遷移，獲取有用信息，再利用這個新知識作進(jìn)一步的演算或推理，結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)而解決問題.先證明函數(shù)y=x²+2x〔x∈［-1,+∞)〕是增函數(shù).然后用反證法判斷函數(shù)y=x²+2x〔x∈［-1,+∞)〕是否為閉函數(shù).

解：設(shè)-1≤x₁＜x₂,則有

f(x₁)-f(x₂)=(x₁²+2x₁)-(x₂²+2x₂)

=(x₁²-x₂²)+2(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(x₁+x₂+2)，

∵-1≤x₁＜x₂,∴x₁-x₂＜0,x₁+x₂+2＞0.

∴(x₁-x₂)(x₁+x₂+2)＜0.

∴f(x₁)＜f(x₂).

∴函數(shù)y=x²+2x〔x∈［-1,+∞)〕是增函數(shù).

假設(shè)存在符合條件的區(qū)間［a,b］,則有

即解得或或或

又∵-1≤a＜b,∴

∴函數(shù)y=x²+2x〔x∈［-1,+∞)〕是閉函數(shù),符合條件的區(qū)間是［-1,0］.