Question

【題目】如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，為三棱錐外一點(diǎn)，且為等邊三角形．

證明：；

若平面平面，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析；.

【解析】

取的中點(diǎn)，連接，，證明平面，可得到結(jié)論；

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用夾角公式求出二面角的余弦值，得出結(jié)論.

解：取的中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，故．

因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面，

所以平面，

且，，

故以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

取的中點(diǎn)，連接，，

同理可證平面，，，

設(shè)，

則，，，，

所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，

，

令，則．

因?yàn)槠矫?/span>的一個(gè)法向量為，

所以，

所以，，

所以或．

因?yàn)?/span>為三棱錐外一點(diǎn)，

所以，

所以．