Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，a₂=2，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)整數(shù)n＞1時(shí)，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，則數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為

3n-1

4n

．

Answer 1

分析：首先要由前n項(xiàng)和的關(guān)系式得到數(shù)列的遞推公式，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由數(shù)列求和的裂項(xiàng)法即可得到正確結(jié)論．

解答：解：由于a₁=1，a₂=2，當(dāng)整數(shù)n＞1時(shí)，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，
所以S₁=a₁=1，S₂=3，S₃=7，故a₃=4，
由于數(shù)列{a_n}中數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)整數(shù)n＞1時(shí)，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，
則S_n+2+S_n=2（S_n+1+S₁）所以a_n+2+a_n=2a_n+1，則數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列，
則數(shù)列a_n=

1，n=1 2n-2，n≥2

，所以n＞1時(shí)，

1

anan+1

=

1

(2n-2)(2(n+1)-2)

=

1

2n-2

-

1

2(n+1)-2

=

1

2n-2

-

1

2n

，
故數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n=(1-

1

2

)+

1

2

[(

1

2

-

1

4

)+(

1

4

-

1

6

)…+(

1

2n-2

-

1

2n

)]=

1

2

+

1

2

(

1

2

-

1

2n

)=

3n-1

4n

．
故答案為

3n-1

4n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的裂項(xiàng)法．著重考查學(xué)生的運(yùn)算能力．屬于基礎(chǔ)題．