Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-10，且經(jīng)過點(diǎn)A（a_n，a_n+1），B（2ⁿ，2ⁿ⁺²）兩點(diǎn)的直線斜率為2，n∈N^*
（1）求證數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）直接利用直線AB的斜率為2把已知條件代入整理即可得a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，再按定義證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)作差，可以求出數(shù)列{a_n}的遞增遞減規(guī)律，即可求出數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng)．

解答：解：（1）直線AB的斜率為

an+1-2n+2

an-2n

=2，化簡得a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹.

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n+1

2n+1

=1，所以數(shù)列{

an

2n

}是以1為公差的等差數(shù)列．
其首項(xiàng)為

a1

2

=-5，所以

an

2n

=-5+(n-1)×1=n-6，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=（n-6）2ⁿ．
（2）a_n+1-a_n=（n-5）2ⁿ⁺¹-（n-6）2ⁿ=2ⁿ（n-4），
解不等式2ⁿ（n-4）＞0得n＞4；解不等式2ⁿ（n-4）＜0得n＜4；
解方程2ⁿ（n-4）=0，解得n=4．
綜上所述：
n＞4時(shí)，a_n+1＞a_n；
n＜4時(shí)，a_n+1＜a_n；
n=4時(shí)，a_n+1=a_n．
所以a₁＜a₂＜a₃＜a₄=a₅＞a₆＞a₇＞最小項(xiàng)為a₄和a₅，且a₄=a₅=-32．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及用定義來證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，是對基礎(chǔ)知識的綜合考查，屬于中檔題．