已知直線l經(jīng)過橢圓
y2
2
+x2=1的焦點并且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸相交于點M，則△MPQ面積的最大值為______．
由題意可知直線的斜率存在，
所以設直線l的方程為y=kx+1，M（m，0）；
由
y=kx+1
y2
2
+x2=1
可得（k2+2）x2+2kx-1=0．
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=
-2k
k2+2
，x1x2=-
1
k2+2
．
可得y1+y2=k（x1+x2）+2=
4
k2+2
．…（3分）
設線段PQ中點為N，則點N的坐標為（
-k
k2+2
，
2
k2+2
），直線MN的方程為：y-
2
k2+2
=-
1
k
（x-
-k
k2+2
），
M（
k
k2+2
，0），|MN|=
(
-k
k2+2
-
k
k2+2
)2+(
2
k2+2
)2
 =
2
k2+1
k2+2
，
|AB|=
1+k2
•
(
-2k
k2+2
)2+
4
k2+2
=
2
2
k2+1
k2+2

△MPQ的面積為
1
2
|AB|•|MN|=
1
2
×
2
2
k2+1
k2+2
×
2
k2+1
k2+2
=
2
2
(k2+1)
(k2+2)2

=
2
2
(k2+1)
(k2+1)2+2(k2+1)+1
=
2
2
(k2+1)+
1
k2+1
+2
≤
2
2
．當且僅當k=0時去等號．
所以所求面積的最大值為
2
2
．
故答案為：
2
2
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=x+k經(jīng)過橢圓C：
x2
a2
+
y2
a2-1
=1，(a＞1)的右焦點F2，且與橢圓C交于A、B兩點，若以弦AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的左焦點F1，試求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l與x軸正方向、y軸正方向交于A，B兩點，M，N是線段AB的三等分點，橢圓C經(jīng)過M，N兩點．
（1）若直線l的方程為2x+y-6=0，求橢圓C的標準方程；
（2）若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，其離心率e∈（0，
12
），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•許昌三模）已知圓C的方程為x2+y2=4，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l與橢圓T相交于P，Q兩不同點，直線l方程為y=kx+
3
(k＞0)，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，橢圓C的短軸的一個端點P到焦點的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+
3
與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：許昌三模 題型：解答題

已知圓C的方程為x2+y2=4，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l與橢圓T相交于P，Q兩不同點，直線l方程為y=kx+
3
(k＞0)，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．

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