已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，橢圓C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+
3
與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
分析：（1）利用橢圓的離心率為
3
2
，橢圓C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為2，建立方程組，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及x1x2+y1y2=0，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）∵橢圓的離心率為
3
2
，橢圓C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為2，
∴
c
a
=
3
2
b2+c2=a2=4

∴a=2，b=1
∴橢圓C的方程為x2+
y2
4
=1；
（2）將y=kx+
3
代入橢圓方程，可得
（4+k2）x2+2
3
kx-1=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個(gè)根，
∴x1+x2=-
2
3
k
4+k2
，x1x2=-
1
4+k2

由題意知：OA⊥OB，則x1x2+y1y2=0
又y1=kx1+
3
，y2=kx2+
3
，
則x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+
3
k（x1+x2）+3=0，
∴（1+k2）•（-
1
4+k2
）+
3
k（-
2
3
k
4+k2
）+3=0
∴k=±
11
2
滿足條件．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連結(jié)成等腰直角三角形，直線l：x-y-b=0是拋物線x2=4y的一條切線．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足
OP
+
OA
+
OB
=
0
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），判斷點(diǎn)P是否在橢圓C上，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點(diǎn)E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動點(diǎn)T滿足：
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，且
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，求拋物線P的方程；
（3）當(dāng)λ∈[2，4]時(shí)，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在x軸上的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B．且四邊形F1AF2B是邊長為1的正方形．
（1）求橢圓C的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異的兩點(diǎn)MN，且
MP
=3
PN
，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•丹東模擬）已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(
3
2
，1)，一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，1）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)橢圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A1、A2，不在y軸上的動點(diǎn)P在直線y=a2上運(yùn)動，直線PA1、PA2分別與橢圓C交于點(diǎn)M、N，證明：直線MN經(jīng)過焦點(diǎn)F．

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