Question

已知函數f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，有f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=1時，求f（x）的導函數，計算曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k，寫出該點處的切線方程；
（2）由題意設g（x）=f（x）+2x，（x＞0），g（x）應是增函數，即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出a的取值范圍．

解答：解：（1）a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，f（1）=-2，
∴f′(x)=2x-3+

1

x

，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k=f'（1）=0；
所以在點（1，f（1））處的切線方程為 y=-2；
（2）令g（x）=f（x）+2x=ax²-ax+lnx，（x＞0）；
由題意知g（x）在（0，+∞）單調遞增，所以g'（x）=2ax-a+

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，即2ax²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立；
令h（x）=2ax²-ax+1，（x＞0）；
則①若a=0，h（x）=1≥0恒成立，
②若a＜0，二次函數h（x）≥0不恒成立，舍去
③若a＞0，二次函數h（x）≥0恒成立，只需滿足最小值h(

1

4

)≥0，即

a

8

-

a

4

+1≥0，解得0＜a≤8；
綜上，a的取值范圍是[0，8]．

點評：本題考查了利用導數求函數圖象上過某點切線方程的斜率以及應用導數判定函數的增減性問題，是中檔題．