Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{\sqrt{-x^2+4x-2m}}$
（1）若函數(shù)f（x）的定義域為（-2，6），求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在（-2，6）內(nèi)有意義，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）的定義域為（-2，6），可得不等式-x²+4x-2m＞0的解集為（-2，6），然后由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得答案；
（2）函數(shù)f（x）在（-2，6）內(nèi)有意義，則對于任意x∈（-2，6），-x²+4x-2m＞0恒成立，由二次不等式對應(yīng)的二次函數(shù)開口向下，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式組求解．

解答 解：（1）若函數(shù)f（x）的定義域為（-2，6），即不等式-x²+4x-2m＞0的解集為（-2，6），
∴-2，6為方程-x²+4x-2m=0的兩根，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：-2×6=2m，即m=-6．
∴實數(shù)m的取值是-6；
（2）若函數(shù)f（x）在（-2，6）內(nèi)有意義，則對于任意x∈（-2，6），-x²+4x-2m＞0恒成立，
令g（x）=-x²+4x-2m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=-4+8-2m≥0}\\{g（6）=-36+24-2m≥0}\end{array}\right.$，解得：m≤-6．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-6]．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．