Question

把邊長為acm的正六邊形板材剪去六個(gè)相同的四邊形（如圖陰影部分）后，用剩余部分做成一個(gè)無蓋的正六棱柱形容器（不計(jì)接縫）．如果容器容積的最大值為3000cm³，求正六邊形板材邊長a的值．

Answer 1

解：設(shè)在原正六邊形板材邊上剪去的四邊形的這一邊長為xcm，如圖所示，
根據(jù)題意，得，
正六棱柱的體積：，
∴，令V'（x）=0，得，（舍去），
當(dāng)時(shí)，V'（x）＞0，V（x）為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，V'（x）＜0，V（x）為減函數(shù)；
所以，在定義域內(nèi)，只有當(dāng)時(shí)，V（x）取得最大值，
所以，，即，
解得：a³=9000，所以，cm．
分析：正六棱柱形容器的容積=底面積×高，如圖所示，設(shè)被剪去四邊形的一邊長為xcm，則底面是邊長為（a-2x）cm的正六邊形，高是cm，求出體積解析式，利用求導(dǎo)法確定體積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值．
點(diǎn)評(píng)：本題借助正六棱柱體積模型，建立函數(shù)解析式，利用求導(dǎo)法求函數(shù)最值的問題，有一定的難度．