Question

把邊長為acm的正六邊形板材剪去六個相同的四邊形（如圖陰影部分）后，用剩余部分做成一個無蓋的正六棱柱形容器（不計接縫）．如果容器容積的最大值為3000cm³，求正六邊形板材邊長a的值．

Answer 1

分析：正六棱柱形容器的容積=底面積×高，如圖所示，設(shè)被剪去四邊形的一邊長為xcm，則底面是邊長為（a-2x）cm的正六邊形，高是

3

xcm，求出體積解析式，利用求導(dǎo)法確定體積最大時對應(yīng)的自變量x的值．

解答：解：設(shè)在原正六邊形板材邊上剪去的四邊形的這一邊長為xcm，如圖所示，
根據(jù)題意，得0＜x＜

a

2

，
正六棱柱的體積：V(x)=Sh=

3

4

(a-2x)2×6×

3

x=18x3-18ax2+

9

2

a2x，
∴V′(x)=54x2-36ax+

9

2

a2，令V'（x）=0，得x1=

a

6

，x2=

a

2

（舍去），
當(dāng)0＜x＜

a

6

時，V'（x）＞0，V（x）為增函數(shù)；當(dāng)

a

6

＜x＜

a

2

時，V'（x）＜0，V（x）為減函數(shù)；
所以，在定義域(0，

a

2

)內(nèi)，只有當(dāng)x=

a

6

時，V（x）取得最大值，
所以，V(

a

6

)=3000，即

3

4

(a-2×

a

6

)2×6×

3

×

a

6

=3000，
解得：a³=9000，所以，a=10

3	9

cm．

點評：本題借助正六棱柱體積模型，建立函數(shù)解析式，利用求導(dǎo)法求函數(shù)最值的問題，有一定的難度．