Question

把邊長(zhǎng)為acm的正六邊形板材剪去六個(gè)相同的四邊形(如圖陰影部分)后，用剩余部分做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱形容器(不計(jì)接縫).如果容器容積的最大值為3 000cm³，求正六邊形板材邊長(zhǎng)a的值.

Answer 1

解：如圖，設(shè)AB的長(zhǎng)為xcm,根據(jù)題意0＜x＜,

正六棱柱的體積V(x)=Sh=(a-2x)²×6×x=18x³-18ax²+a²x,

令V′(x)=0,得x₁=,x₂=(舍去),

當(dāng)0＜x＜時(shí)，V′(x)＞0，V（x）為增函數(shù);

當(dāng)＜x＜時(shí)，V′(x)＜0,V（x）為減函數(shù).

所以在定義域（0,）內(nèi)只有當(dāng)x=時(shí)，V（x）取得最大值.

所以V()=3000,即（a-2×）²×6××=3000.

解得a³=9000,所以a=10cm.