Question

13．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{1-|x-4|，x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零點(diǎn)之和為（　�。�

• A． 3^a-1
• B． 1-3^a
• C． 3^-a-1
• D． 1-3^-a

Answer 1

分析 利用奇偶函數(shù)得出當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{1-|x-4|，x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{x-3，x∈[2，4]}\\{5-x，x∈（4，+∞）}\end{array}\right.$，畫出圖象，根據(jù)對(duì)稱性得出零點(diǎn)的值滿足x₁+x₂，
x₄+x₅的值，關(guān)鍵運(yùn)用對(duì)數(shù)求解x₃=1-3^a，整體求解即可．

解答 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），
∴f（-x）=-f（x），
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{1-|x-4|，x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{x-3，x∈[2，4]}\\{5-x，x∈（4，+∞）}\end{array}\right.$，
得出x＜0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（1-x），x∈（-2，0）}\\{|x+4|-1，（-∞，-2]}\end{array}\right.$
畫出圖象得出：


如圖從左向右零點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
根據(jù)對(duì)稱性得出：x₁+x₂=-4×2=-8，
x₄+x₅=2×4=8，-log${\;}_{\frac{1}{3}}$（-x₃+1）=a，x₃=1-3^a，
故x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=-8+1-3^a+8=1-3^a，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了函數(shù)的性質(zhì)，圖象的運(yùn)用，函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)交點(diǎn)問題，考查了數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．