Question

4．已知在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，sinA+sinB-4sinC=0，且△ABC的周長(zhǎng)L=5，面積S=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²）．
（1）求c和cosC的值；
（2）求$\frac{{a}^{2}+^{2}}{asinA+bsinB}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的第一個(gè)等式，得到a+b=4c，代入第二個(gè)等式中計(jì)算，即可求出c的長(zhǎng)；
利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積S，代入已知的等式中，利用完全平方公式變形后，將a+b=4代入化簡(jiǎn)，即可求出cosC的值；
（2）由正弦定理列出關(guān)系式，變形后利用合比性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）∵sinA+sinB-4sinC=0，
∴a+b=4c，
∵△ABC的周長(zhǎng)L=5，
∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．
∵面積S=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²），
∴$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²）=$\frac{16}{5}-\frac{1}{5}[（a+b）^{2}-2ab]$=$\frac{2}{5}ab$，
∴sinC=$\frac{4}{5}$，
∵c＜a+b，C是銳角，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$．
（2）$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{asinA}$=$\frac{^{2}}{bsinB}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}{asinA+bsinB}$=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，完全平方公式的運(yùn)用，以及比例的性質(zhì)，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．