Question

在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sinB=2sin（

π

4

+B）•sin（

π

4

-B）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)式子，利用平方關(guān)系、條件求出角B的值；
（Ⅱ）利用余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，把數(shù)據(jù)代入利用不等式求出ac的范圍，代入三角形的面積公式求出面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由條件得sinB=2（

2

2

cosB+

2

2

sinB）（

2

2

cosB-

2

2

sinB），
即sinB=cos²B-sin²B，
由sin²B+cos²B=1得，2sin²B+sinB-1=0，
解得sinB=

1

2

或sinB=-1…（5分）
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以B=

π

6

…（7分）
（Ⅱ）由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，
把b=1，B=

π

6

代入可以得到：
1=a2+c2-

3

ac≥(2-

3

)ac，所以ac≤

1

2- 3

=2+

3

 …（10分）
所以S△ABC=

1

2

acsinB=

1

4

ac≤

2+ 3

4

           …（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，此時(shí)△ABC的面積的最大值是

2+ 3

4

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦公式，余弦定理，平方關(guān)系等，以及利用不等式求三角形面積的最大值，這是�？嫉念}型．