Question

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象上一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為 (

π

12

，3)，與之相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為 (

7π

12

，-1)．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ） 當(dāng)x∈[

π

2

，π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象上一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為 (

π

12

，3)，與之相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為 (

7π

12

，-1)．我們可根據(jù)兩個(gè)最值點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出A，B的值，根據(jù)橫坐標(biāo)求出周期T，進(jìn)而得到ω及φ的值，從而求出求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）根據(jù)由（1）的結(jié)論，及正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，及零點(diǎn)的定義，我們易得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）依題意的

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，所以T=π，于是ω=

2π

T

=2（2分）
由

A+B=3 -A+B=-1

解得

A=2 B=1

（4分）
把(

π

12

，3)代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，可得sin(

π

6

+?)=1，所以

π

6

+?=2kπ+

π

2

，
所以?=2kπ+

π

3

，因?yàn)?span id="zzvd5xj" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">|?|＜

π

2

，所以?=

π

3

綜上所述，f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1（7分）
（Ⅱ）令f（x）=0，得sin(2x+

π

3

)=-

1

2

，又∵x∈[

π

2

，π]
∴

4π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

∴2x+

π

3

=

11π

6

故x=

3π

4

函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是x=

3π

4

（10分）
∵

4π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

∴由

3π

2

≤2x+

π

3

≤

7π

3

得

7π

12

≤x≤π∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[

7π

12

 ， π]（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦型函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的零點(diǎn)，其中根據(jù)已知中的條件求出函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．