Question

【題目】已知函數(shù) 。

（1）當時，討論的單調(diào)性；

（2）若在點處的切線方程為，若對任意的

恒有，求的取值范圍（是自然對數(shù)的底數(shù)）。

Answer 1

【答案】(1) 當時， 在上單調(diào)遞增；當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)

【解析】試題分析：

（1）求導數(shù)，分三種情況分別討論導函數(shù)的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)情況。（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得，從而。故由題意得對任意的恒成立。設， ，根據(jù)單調(diào)性可求得，從而可得。

試題解析：

（1）當時， ，

所以。

令，解得或，

①當時， ，所以在上單調(diào)遞增；

②當時， ，列表得：

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當時， ，列表得：

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

綜上可得，當時， 在上單調(diào)遞增；

當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

（2）因為，

所以，

由題意得，

整理得，解得

所以，

因為對任意的恒成立，

所以對任意的恒成立，

設，

則，

所以當時， 單調(diào)遞減，

當時， 單調(diào)遞增。

因為，

所以，

所以，

解得。

所以實數(shù)的取值范圍為。