Question

【題目】已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，當時， ，若集合，則實數(shù)的取值范圍是______.

Answer 1

【答案】

【解析】

把x≥0時的f（x）改寫成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時的函數(shù)的最大值，條件等價為對x∈R，都有f（x-1）f（x），進行轉化求解即可求解該不等式得答案．

若=，
則等價為f（x-1）-f（x） 0恒成立，即f（x-1）f（x）恒成立，
當x≥0時 ．
若a≤0，

則當x≥0時， ，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴若x＜0，則-x＞0，則f（-x）=-x=-f（x），
則f（x）=x，x＜0，
綜上f（x）=x，此時函數(shù)為增函數(shù)，則f（x-1）f（x）恒成立；
若a＞0，
若0≤x≤a時， ；
當a＜x≤2a時， ；
當x＞2a時， ．即當x≥0時，函數(shù)的最小值為-a，
由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
當x＜0時，f（x）的最大值為a，
作出函數(shù)的圖象如圖：
由于x∈R，f（x-1）f（x），
故函數(shù)f（x-1）的圖象不能在函數(shù)f（x）的圖象的上方，
結合圖可得 ，即6a2，求得0＜a ，
綜上a ，
故答案為：