Question

已知函數f（x）=2^x．
（1）求函數F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，求a的取值范圍；
（3）若當x∈[0，3]時，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出F（x）的解析式，用換元法把函數轉化為二次函數，問題轉化為二次函數在定區(qū)間上求最大值，結合函數圖形，分為三類進行討論，后歸結為兩類，寫為分段函數的形式；
（2）用換元法轉化為二次不等式，因為t∈（0，1），所以分離參數，另一邊的式子的取值范圍為（-∞，0），由題意得，a＜0；
（3）利用f（x）=2^x是增函數去掉不等式中的f，得關于x的二次不等式，轉化二次函數在定區(qū)間上求最小值，因為對稱軸不確定，求最小值分為三種情況進行討論，把三個范圍并在一起就是a的取值范圍．

解答：解：（1）F（x）=2^x+a•2^2x，x∈（-∞，0]．
令2^x=t，因x∈（-∞，0]，故t∈（0，1]．
2^x+a•2^2x=at²+t（0＜t≤1）．（2分）
當a=0時，F(xiàn)（x）_max=1．（3分）
當a≠0時，令g（t）=at2+t=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

(0＜t≤1)．
若a＞0，t=1時g（t）取最大值，g（1）=a+1．（4分）
若-

1

2

＜a＜0，t=1時g（t）取最大值，g（1）=a+1．（5分）
若a≤-

1

2

，t=-

1

2a

時g（t）取最大值，g(-

1

2a

)=-

1

4a

．（6分）
綜上，F(x)max=

1+a，a＞- 1 2 - 1 4a ，a≤- 1 2 .

（7分）
（2）令2^x=t，則存在t∈（0，1）使得t²-at＞1，
即存在t∈（0，1）使得a＜t-

1

t

，∴a＜0．a的取值范圍是（-∞，0）．（9分）
（3）因f（x）=2^x是單調增函數，故由f（x+1）≤f[（2x+a）²]得x+1≤（2x+a）²，
問題轉化為x+1≤（2x+a）²對x∈[0，3]恒成立，（10分）
即4x²+（4a-1）x+a²-1≥0，令h（x）=4x²+（4a-1）x+a²-1，
若

1-4a

8

＜0，必需且只需h（0）≥0，此時得a≥1；（12分）
若

1-4a

8

＞3，必需且只需h（3）≥0，此時得a≤-8；（14分）
若0≤

1-4a

8

≤3，必需且只需△=（4a-1）²-16（a²-1）≤0，此時無解．
綜上得a的取值范圍是{a|a≤-8或a≥1}．（16分）

點評：此題考查復合函數的最值，求參數的范圍，求函數最值時，用轉化化歸的思想化成已學的函數，一般是二次函數，再利用數形結合，分類討論的思想求最值，（1）與（3）的區(qū)別，（1）中開口方向不定，（3）中是定的，注意（2）中的問法，存在兩個字，分離參數，化歸的是單調函數．考查邏輯推理，抽象概括能力，綜合運用能力．