Question

已知點(diǎn)A（4，0）和B（2，2），M是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一動(dòng)點(diǎn)，則|MA|+|MB|的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義,兩點(diǎn)間的距離公式

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)條件可知，MA+MB=10+|MB|-|MF|．當(dāng)M在直線(xiàn)BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)有|MB|-|MF|=-|BF|，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有|MB|-|MF|=|BF|．顯然當(dāng)M在直線(xiàn)BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)|MA|+|MB|有最大值，其最大值為|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10+|BF|．由此能夠求出MA+MB的最大值．

解答： 解：A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為F（-4，0），則由橢圓定義|MA|+|MF|=2a=10，
于是|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|．
當(dāng)M不在直線(xiàn)BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，M、F、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是|MB|-|MF|＜|BF|，
而當(dāng)M在直線(xiàn)BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有|MB|-|MF|=-|BF|，
在第三象限交點(diǎn)時(shí)有|MB|-|MF|=|BF|．
顯然當(dāng)M在直線(xiàn)BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)|MA|+|MB|有最大值，其最大值為
|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10+|BF|=10+

(2+4)2+(2-0)2

=10+2

10

．
故答案為：10+2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的基本性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握基本公式．