Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞c）的離心率為

2

2

，且經過點P（1，

2

2

）
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設直線x=my+1交橢圓E于A，B兩點，射線OA，OB分別交直線l：x=2于M，N，記△OAB，△OMN的面積分別為S₁，S₂，λ=

S2

S1

，當m∈[

1

2

，

2

2

]時，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

1 a2 + 1 2b2 =1 c a = 2 2 c2=a2-b2

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）設A（my₁+1，y₁），B（my₂+1，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），OA的方程為y=

y1

my1+1

x，OB的方程為y=

y2

my2+1

x，由此求出|MN|=|

2(y1-y2)

m2y1y2+m(y1+y2)+1

|，由

x=my+1 x2 2 +y2=1

，得|y₁-y₂|=

2 2 • m2+1

m2+2

，從而得到|MN|=

2 2 • m2+1

|m2-1|

，|AB|=

1+m2

|y₁-y₂|=

2 2 (m2+1)

m2+2

，由此能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞c）的離心率為

2

2

，且經過點P（1，

2

2

），
∴

1 a2 + 1 2b2 =1 c a = 2 2 c2=a2-b2

，解得

a2=2 b=c=1

，
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設A（my₁+1，y₁），B（my₂+1，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
∴OA的方程為y=

y1

my1+1

x，OB的方程為y=

y2

my2+1

x，
由

x-2=0 y= y1 my1+1

，解得yM=

2y1

my1+1

，
同理求得yN=

2y2

my2+1

，
∴|MN|=|y_M-y_N|=|

2(y1-y2)

m2y1y2+m(y1+y2)+1

|，①
由

x=my+1 x2 2 +y2=1

，得（m²+2）y²+2my-1=0，
∴△=4m²+4（m²+2）＞0，
y1+y2=-

2m

m2+2

，y₁y₂=-

1

m2+2

，|y₁-y₂|=

2 2 • m2+1

m2+2

，②
將②代入①，整理，得：
|MN|=

2 2 • m2+1

|m2-1|

，又|AB|=

1+m2

|y₁-y₂|=

2 2 (m2+1)

m2+2

，
設點O到直線AB，l的距離分別為d₁，d₂，
則d1=

1

m2+1

，d₂=2，
∴S1=

1

2

|AB|d₁=

2 • m2+1

m2+2

，
S2=

1

2

|MN|d₂=

2 2 • m2+1

|m2-1|

，
∴λ=

S2

S1

=2•|

m2+2

m2-1

|=2|1+

3

m2-1

|，
∵m∈[

1

2

，

2

2

]，∴λ∈[6，10]，
∴λ的取值范圍是[6，10]．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想、等價轉化思想的合理運用．