Question

如圖，設(shè)A是單位圓和x軸正半軸的交點，P，Q是單位圓上兩點，O是坐標(biāo)原點，且P（

3

2

，

1

2

），∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（1）若點Q的坐標(biāo)是（

3

5

，

4

5

），求cos（α-

π

6

）的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（α）=

.

OP

•

.

OQ

，求f（α）的值域．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題,任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：第（1）問先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出α的正余弦值，再代入兩角差的余弦公式求出cos(α-

π

6

)；
第（2）問先利用α的三角函數(shù)把

OP

、

OQ

的坐標(biāo)表示出來，再利用數(shù)量積的定義求出f（α），按照三角函數(shù)求知欲的方法求解，不要忽視了α的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知可得cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，
∴cos(α-

π

6

)=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．
（2）由已知得

OP

=(

3

2

，

1

2

)，

OQ

=(cosα，sinα)，
∴f(α)=

OP

•

OQ

=(

3

2

，

1

2

)•(cosα，sinα)
=

3

2

cosα+

1

2

sinα=sin

π

3

cosα+cos

π

3

sinα=sin(α+

π

3

)
∵α∈[0，π），∴α+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

)，
∴-

3

2

＜sin(α+

π

3

)≤1．
故f（α）的值域是(-

3

2

，1]．

點評：本題是一個三角函數(shù)與平面向量的綜合，此類問題，要求必須對三角函數(shù)的定義及其公式，向量的基本概念和運算熟練掌握，考查的落腳點往往是三角函數(shù)的圖象或性質(zhì)，因此三角函數(shù)最后一般化簡成形如y=Asin（ωx+θ）+C的形式．