Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=sinx，下列命題正確的有

 

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）
①函數(shù)f（x）任意兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為kπ（k∈Z）；
②存在x₀＞0，x₀≤f（x₀）；
③曲線f（x）=sinx關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形與關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形重合；
④l₁，l₂是函數(shù)f（x）=sinx圖象上的任意兩條相互垂直的切線，則l₁，l₂斜率之和為0；
⑤設(shè)④中l(wèi)₁，l₂交于P點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)可以是（

π

2

，

π

2

）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：分別根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：①由函數(shù)f（x）的圖象可知，任意兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為kπ（k∈Z）；故①正確，
②任意x₀＞0，x₀≤f（x₀）；故②錯(cuò)誤，
③曲線f（x）=sinx關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形與關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形均為y=-sinx，重合；故③正確，
④由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l₁，l₂是函數(shù)f（x）=sinx圖象上的任意兩條相互垂直的切線，
則cosx₁cosx₂=-1，不妨設(shè)cosx₁≤cosx₂，則必有cosx₁=-1，cosx₂=1，則l₁，l₂斜率之和為0；故④正確．
⑤由④知，x₁=（2m+1）π，x₂=2nπ，（m，n∈Z），∴切線的交點(diǎn)P（x₀，y₀）=（

x1+x2

2

，

x2-x1

2

）=（（m+n）π+

π

2

，（m-n）π+

π

2

），
可見x₀，y₀都不是π的整數(shù)倍，但x₀+y₀是π的整數(shù)倍，則P點(diǎn)坐標(biāo)可以是（

π

2

，

π

2

），滿足條件，故⑤正確．
故正確的是①③④⑤，
故答案為：①③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，要求數(shù)列掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．