Question

已知雙曲線 E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)（3，0）是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（-12，-15）求雙曲線E的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有：

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22 b2 =1

兩式作差得：

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

x1+x2

y1+y2

═

-12b2

-15a2

=

4b2

5a2

求解即可．

解答： 解：設(shè) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由題意知c=3，a²+b²=9，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有：

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22 b2 =1

兩式作差得：

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

x1+x2

y1+y2

=

-12b2

-15a2

=

4b2

5a2

又AB的斜率是

-15-0

-12-3

=1，
所以將4b²=5a²代入a²+b²=9得
a²=4，b²=5．
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4

-

y2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了雙曲線的方程，幾何意義，屬于中檔題．